Preko intriga do imaginarnih brojeva

priredio: Damjan Spasojević

Svijet matematike srednjeg vijeka i renesanse nezamislivo se razlikovao od savremenog. Specifičnost tadašnje matematičke kulture možda najljepše ilustruje skup intrigantnih događaja koji su, mada bez te namjere njihovih učesnika, za posledicu imali jednu od najznačajnijih prekretnica u istoriji matematike i nauke uopšte, otkriće imaginarnih brojeva.

Profesor matematike Leonarda Da Vinčija, Luka Pačoli, 1494. godine objavio je knjigu Summa de aritmetica, sveobuhvatan rezime matematike poznate u renesansnoj Italiji, uključujući aritmetiku, osnovnu algebru, osnovnu geometriju i računovodstvo. U knjizi se pojavljuje poglavlje o kubnoj jednačini (polinom trećeg stepena):

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

Do tada matematičari su već četiri hiljade godina pokušavali da pronađu formulu za rješavanje kubne jednačine, ali Vavilonci, Grci, Kinezi, Indijci, Egipćani, Persijanci i drugi, nisu uspjeli da doguraju daleko na tom putu. Pačoli zato u svojoj knjizi ovaj problem proglašava nerješivim, što jeste neobično uzimajuću u obzir da je rješavanje kvadratne jednačine već hiljadama godina bilo poznato. Ono rješenje čiji savremeni oblik zapisa većina pamti iz srednjoškolskih dana:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ }
Summa de aritmetica

Rješenje

Oko deceniju nakon objavljivanja Pačolijeve knjige profesor matematike na Univerzitetu u Bolonji, Scipioni del Fero, uspijeva da dođe do formule za rješenje podgrupe kubnih jednačina, onih koje uz drugi stepen imaju koeficijent nula, tako da x na kvadrat ne postoji u jednačini:

Na pitanje šta je del Fero uradio nakon što je riješio problem sa kojim se matematičari bezuspješno bore hiljadama godina, a Pačoli ga proglasio nerješivim, odgovor je većini naših savremenika potpuno neočekivan – nije rekao nikome.

Matematički dueli

Iako nama neočekivan, del Ferov potez je više nego smislen s obzirom na vrijeme u kom je živio. Biti matematičar i profesor u šesnaestom vijeku u Italiji nije bilo ni nalik istom poslu danas.
Naime, među matematičarima tog doba postojao je običaj izazivanja na “duele”. Jedan drugom bi zadali set zadataka (podrazumijeva se da one zadatke koje zadaju drugome umiju da riješe) i onaj koji ne umije da riješi dobijene zadatke izgubio je. Izgubljeni duel obično znači i gubljenje akademskog zvanja, plate, ali i javno poniženje, a pobjedniku sleduje slava i dobijanje onoga što je poraženom oduzeto.
Sada del Ferova odluka da ne otkrije nikome svoju formulu zvuči kao potpuno logičan potez – niko osim njega ne zna da riješi redukovanu kubnu jednačinu, što znači da ako ikada bude izazvan na duel ima sigurnu kartu za pobjedu, a time i, savremenim rječnikom, – ugovor za stalno.

Otkriće

Dvije decenije je del Fero čuvao svoju tajnu da bi 1526. godine na samrtničkoj postelji jednom od svojih učenika, Antoniu Fioru, otkrio rješenje redukovane kubne jednačine. Iako ne posebno dobar matematičar, Fior je bio ambiciozan, i posle del Ferove smrti hvalio se da ima rješenje vjekovnog problema.

U to vrijeme u Fiorov rodni grad, Veneciju, kao profesor doselio se Nikolo Fontana Tartalja. Ovaj matematičar prešao je put od siromašnog dječaka kojem je francuski vojnik rajsekao lice, posle čega je počeo da muca i dobio nadimak Tartalja, što znači mucavac, do uglednog matematičara u Veneciji.
Fior 12. februara 1532. godine odlučuje da izazove Tartalju na “duel” i oduzme mu stečeno poštovanje i poziciju. Zadaju jedan drugome po 30 zadataka sa rokom od 40 dana. Naravno, Fior je Tartalji zadao 30 kubnih jednačina. Međutim, Tartalja rješava sve zadatke u roku od dva sata.

Hvalisavost zbog koje nije čuvao u tajnosti svoje znanje, za razliku od svog učitelja, Fiora je koštala ovog duela, mada mu ništa ne bi pomoglo s obzirom na to da nije umio da riješi ni jedan Tartaljin zadatak. Naime, Tartalja je još ranije čuo za Fiorovo hvalisanje, ali je i sam sumnjao u autorstvo rješenja, Tartalja piše: “Nisam ga smatrao sposobnom da otkrije takvo nešto sam.”. Ipak, već su postojale glasine da je Fioru ovo rješenje zapravo dao njegov učitelj, a za Tartalju je dovoljno bilo da ima razloga da vjeruje da je rješenje kubne jednačine moguće da bi se i sam posvetio ovom problemu.
Razvijajući dvodimenzijalni geometrijski princip kojim je riješena kvadratna jednačina u tri dimenzije Tartalja takođe uspijeva da dođe do rješenja redukovane kubne jednačine prije samog duela i postaje drugi čovjek na svijetu kome je to pošlo za rukom.
Zanimljiv je i način na koji je zapisao algoritam po kom se dolazi do rješenja. Mederna algebarska notacija nastala je tek vijek kasnije, tako da Tartalja nije imao na raspolaganju set simbola i konvencija koje danas znaju i srednjoškolci, pa je svoje otkriće zapisao u stihovima. Stihovi, za nas danas, zbog duha matematičkog jezika tog vremena, potpuno nejasni na prvi pogled, opisuju korak po korak metod rješavanja jednačine.

Ars Magna

Pobjeda u duelu i rješenje kubne jednačine proslavljaju Tartalju širom Italije, veliki broj matematičara želi da otkrije formulu, a posebno Đirolamo Kardano, slavni intelektualac i polimat iz Milana koji je u to vrijeme pripremao knjigu o algebri.

Tartalja naravno ne želi da bilo kome otkrije svoju formulu, ali Kardano nije odustajao i čitavih sedam godina od slavnog duela uspijeva da, pod izgovorom da će ga predstaviti jednom bogatom sponzoru, ubijedi Tartalju da dođe u Milano. Ovaj mu tamo otkriva rješenje, ali pod zakletvom da ga nikome neće pokazati niti objavljivati, i najzanimljivije, da će ga zapisivati isključivo u šiframa, tako da niko posle njegove smrti neće moći da ga razumije iz njegovih bilješki.

Kardano je odmah počeo da ekperimentiše sa Tartaljinom formulom, ali sa višim ciljem na umu – rješavanjem kompletne kubne jednačine koja uključuje i x na kvadrat. Ubrzo u tome i uspijeva otkrivanjem smjene koja svaku kubnu jednačinu svodi na redukovanu kubnu jednačinu bez elementa drugog stepena, koja se onda može riješiti Tartaljinom formulom.

Ovakvo otkriće za Kardana koji živi kao fizirač i slavni intelektualac nije nešto što bi držao u tajnosti kao profesori matematike sa univerziteta. Međutim, zakletva koju je dao Tartalji ne dozvoljava mu da objavi potpuno rješenje matematičkog problema starog hiljadam godina. Ali, kako to obično biva, niotkuda se pojavljuje neočekivana sila i rješava stvar.

Kardano 1542. godine putuje u Bolonju i tamo posjećuje matematičara koji je zapravo zet Scipionija del Fera, tvorca prvog rješenja redukovane kubne jednačine. U toj posjeti prelistavajući bilješke del Fera koje je ovaj naslijedio, kao i njegovu profesorsku poziciju, Kardano nalazi prvo rješenje jednačine. Kako je ovo rješenje dvije decenije starije od Tartaljinog, Kardano je oslobođen zakletve i dvije godine kasnije objavljuje knjigu Ars Magna (Velika umjetnost) i u njoj potpuno rješenje kubne jednačine.

Iako je Kardano naveo doprinos del Fera i Tartalje, objavljivanje knjige je razbjesnilo Tartalju koji mu šalje uvrijedljiva pisma i osuđuje ga za krađu, ali ne nailazi na značajnu podršku u matematičkoj zajednici, a način rješavanje kubne jednačine i danas se naziva Kardanova metoda.

Imaginarni brojevi

Rješavanje hiljadama godina nerješivog problema djeluje kao povod dovoljan da svi ovi događaji imaju značaj za istoriju matematike, nauke i čovječanstva. Međutim, ovi događaji za posledicu imaju tektonske poremećaje u svijetu matematike koje njihovi akteri nisu mogli ni da zamisle.

Matematika je nastala kao način da se kvantifikuje opipljiv svijet oko nas, da se izračunaju količine, površine, zapremine… Tako je većina matematike izvođena iz geometrije. Matematičari su mnoge probleme koje danas posmatramo aritmitečki zapravo rješavali geometrijski. Kvadratna jednačina je idealan primjer. Jednačinu x^2+26x=27 (x^2 je x na kvadrat) matematičari su posmatrali kao zbir površina dva pravougaonika od kojih jedan ima površinu x^2, tj ima stranice dužina x, a drugi ima površinu 26x, tj ima jednu stranicu dužine x a drugu dužine 26. To bi izgledalo ovako:

Ako drugi pravougaonik prepolovimo na dva jednaka dijela sa stranicama x i 13 i presložimo ih, dobijamo oblik nepotpunog kvadrata:

Neki sigurno iz škole pamte “dopunu do potpunog kvadrata” iz zadataka sa polinomima, a taj princip ovako izgleda u geometrijskoj reprezentaciji. Za dopunu do punog kvadrata potreban nam je kvadrat stranica 13. Pošto iz prvobitne jednačine znamo da je ukupna površina postojeća tri kvadrata 27, a dodajemo kvadrat stranice 13 čija je površina 13 na kvadrat, tj 169, onda sa obje strane znaka jednakosti dodajemo 169 i znamo da je ukupna površina punog kvadrata 27+169=196 :

Na osnovu znanja o ukupnoj površini kvadrata lako dolazimo do dužine njegove stranice korijenovanjem površine:

Dalje lako izračunavamo x znajući da je stranica dužine 14 zapravo x + 13, pa je x=1, što je naravno tačno rješenje početne jednačine.

Ovo je najprostiji primjer načina na koji se iz geometrije dolazilo do rješenja aritmetičkih problema. Po ovom istom principu, samo u tri dimenzije, gdje su se sabirale zapremine umjeto površina, Tartalja je došao do rješenja kubne jednačine.

Ipak, ovaj način razmišljanja ima ograničenje – u njemu ne postoje negativni brojevi. Zaboravili smo da je rješenje zadate jednačine osim 1 i -27.
Matematičari tog vremena nisu baratali negativnim brojevima. A ako bi se negativan broj našao ispod korijena to se smatralo pokazateljem nepostojanja rješenja. Na primjer, pri pokušaju rješavanja sistema jednačina x+y=10 i xy=40, dolazi se to koraka u kom se ispod korijena nalazi negativan broj, a kako je očigledno da rješenje ne posotji, jer ne postoje dva broja čiji zbir daje 10 a proizvod 40, matematičari su shvatili da negativan broj ispod korijena znači da rješenje ne postoji.

Međutim, rješavajući kubne jednačine matematičari nailaze na primjere očigledno rješivih jednačina koje pri primjeni novooktivenih formula dovode do negativnih brojeva ispod korijena, kao što je x^3=15x+4 koja pri rješvanju dovodi do korijena iz -121, a očigledno je da je rješenje 4.

Ovo zbunjuje matematičare i na kratko ih vraća u zonu nerješevosti problema poput one od prije del Ferovog otkrića.

Kardano pokušavajući da dođe do objašnjenja novog fenomena na primjeru slične jednačine prolazi kroz geometrijske korake na kojima se bazira formula i dolazi do tačke problema – u jednom koraku koji zahtijeva pomenutu dopunu do punog kvadrata pojavljuje se kvadrat koji ima stranice 5 a površinu 30, tako da je dopuna površine -5.
Ovoj je sama tačka pucanja matematike zasnovane na geometriji – negativna površina izlazi iz domena realnog prostora sagledivog ljudskim čulima.

Ovaj problem ostaje neriješen narednu deceniju, sve dok Rafael Bombeli nije odlučio da pokuša da pronađe rješenje. Bombeli prvi dolazi do pretpostavke da kako korijen negativnog broja ne može biti ni pozitivan ni negativan broj treba ga ,,proglasiti” novom ,,vrstom” brojeva. U koraku u kom su se matematičari do tada zaustavljali bez ideje kako dalje, Bombeli dolazi do ideje, koju danas nazivamo kompleksnim brojevima, da matametački izraz sa korijenom negativnog broja do kog se dolazi Kardanovom metodom predstavi kao kombinaciju realnih brojeva (realni dio) i korijena iz -1 (imaginarni dio), nastavljajući dalje došlo bi do dva ,,imaginarna” dijela suprtnog znaka tako da se mogu ,,skratiti” nakon čega se dobija tačno realno rješenje.

Ovo predstavlja prelomnu tačku za matematiku. Formula koja je dobijena na osnovu geometrije i predstava realnog prostora u potpunosti funkcioniše ukoliko napustimo upravo tu zavisnost od geomtrije i realnog prostora.
Nakon ovog otkrića imaginarni brojevi, kako ih je prozvao Dekart, otvaraju potpuno nove matematičke prostore i dozvoljavaju nova otkrića među kojima i najznačajnije otkriće za ravoj kvantne mehanike – Šredingerovu jednačinu.
Potencijali matematike da opiše i objasni svijet oko nas nadilaze ljudska čula, pa tako matematika bez problema barata negativnim površinama, sve formule koje funkcionisu do tri dimenzije funkcionišu i u četiri, pet, n dimenzija, i još mnogo toga što čovjek svojim tijelom ne može da doživi.

Matematika ovim predstavlja prozor u svijet van granica čovjekove čulne sposobnosti.